ciągi Bogumił: Blagam wytlumaczcie mi toemotka Rosnacy ciag geometryczny ma parzysta liczbe wyrazow. Wszystkie wyrazy ciagu sa dodatnie a ich suma jest 5 razy wieksza od sumy wyrazow o numerach nieparzystych. a)Wyznacz iloraz ciagu b) wiedzac ze iloczyn dwudziestu poczatkowych wyrazow tego ciagu wynosi 1024³² wyznacz pierwszy wyraz tego ciagu. Nie to ze nie probowalem. a₁+a₂+...+a_n=5(a₁+a₃+...+a_2n+1) a₁+a₁q+...+a₁qⁿ⁻¹=5(a₁+a₁q²+....+?) nie mam pojecia czy robie dobrze i czy to do czegos prowadzi

Nikka: wow, niezłe zadanko spróbuję − daj mi chwilkę chyba widziałam coś podobnego na forum − ale nie pamiętam czy było rozwiązane...

Bogumił : no wlasnie to do matury z matematyki roszerzonej.. mam jeszcze jedno tego typu zadanie i wlasnie sprawiaja mi one niezly klopot

Nikka: https://matematykaszkolna.pl/forum/27634.html znalazłam coś podobnego, idźmy tym tropem i zobaczymy co wyjdzie

Bogumił : hmm juz obczajam ja szukalem i nie znalazlem nic. Dziekuje

Nikka: wyszło mi q=4

kasandra: Tak q= 4

Nikka: a a₁ = 4⁻⁵⁰

ratatatata: wręcz idealnie q=4

Nikka: Bogumił jak idzie?

kasandra: Podam proste rozwiązanie Udowodnimy twierdzenie ,że: w ciagu geometryczym o parzystej liczbie wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych równy jest q Będzie to nam potrzebne do rozwiązania w prosty sposób tego zadania: Dowód twierdzenia: a*q + a*q³ + a*q⁵ +..... + a*q²ⁿ⁻¹ = S_2n a +a*q² + a*q⁴ + ...... +a*q²ⁿ⁻²= S_2n−1 więc

	S2n		q(a+a*q2+a*q4+...+a*q2n−2)
		=		=q
	S2n−1		a+a*q2+... +a*q2n−2

po skróceniu = q c.b.d.o więc teraz nasze zadanie: S_n = 5*S_2n−1 ponieważ : S_n = S_2n+ S_2n−1 to: S_2n + S_2n−1= 5*S_2n−1 => S_2n= 4*S_2n−1

	S2n
to		= 4 = q
	S2n−1

Odp: q=4 Pozdrawiam

Sofia : Genialne rozwiązanie x)

Michał: Mam, moim zdaniem, jeszcze prostsze rozwiązanie. W ciągu geometrycznym, suma parzystych wyrazów wynosi: Sn = a₁ * (1 − (qⁿ/2)²)/(1−q²)) = a₁ * (1 − (qⁿ)/(1−q²)) Wyjaśnienie: w ciągu składającym się z samych wyrazów nieparzystych wartość kolejnego wyrazu wzrasta o wartość ilorazu "podstawowego" ciągu. Skoro to ciąg parzysty, to liczba wyrazów ciągu wyrazów nieparzystych wynosi n/2. W takim razie, co wynika z treści zadania: a₁ * (1−qⁿ)/(1−q) = 5 * a₁ * (1−qⁿ)/(1−q²) a₁ nam spada, 1− qⁿ również. Mnożymy na krzyż: 5 − 5q = 1 − q² Przenosimy na jedną stronę, rozwiązujemy równanie kwadratowe i otrzymujemy dwa pierwiastki: q₁ = 4 ∊ q q₂ = 1 ∉ q ( w przypadku kiedy iloraz równy jest jeden, ciąg jest stały, co wyklucza treść zadania) Za tydzień matura. Trzymajcie kciuki